ODE的基本性质与解法

参考文献

Papers

The Principles of Diffusion Models

Books

喻文健，《数值分析与算法(第3版)》，清华大学出版社，2020.

常微分方程定义与基本性质

常微分方程描述了一个确定性的演化过程。系统随时间的状态变化率由以下方程给出：

：表示系统在时间的状态（位置）
：是一个向量场（时变速度场），它定义了空间中每一点在每一时刻的“指令”——即变化的方向和大小

可以将求解 ODE 想象为粒子在流体中的运动：

向量场视角：是一个静态或动态的“箭头景观”，规定了每一点的局部流向
轨迹视角：解是一条曲线。粒子从起点出发，其每一步的运动方向（切线方向）都严格遵循向量场的指引
直觉：一旦初始状态确定，在满足一定条件下，粒子随时间演化的整个轨迹就被唯一确定了

解的存在性与唯一性

存在性：是否一定有一条路径能满足方程？ 唯一性：从同一点出发，是否只会产生一条路径？

局部存在性与唯一性定理

设是空间与时间的开区域，设向量场是定义在该区域上的函数

若函数满足以下两个条件： 连续性：关于状态和时间在区域内是连续的 局部利普希茨条件：关于状态满足利普希茨连续性——即存在常数，使得对于区域内的任意两点和，均满足：则对于内的任意初始条件，存在一个正数，使得常微分方程：在时间区间上存在一个解，并且该解在区间上是唯一的

存在性证明

考虑初值问题：

对等式两边从到进行积分：

因为：

整理得：

也就是说，如果能在连续函数空间找到一个满足这个积分，那么它一定也满足原来的微分方程

利用上述积分方程，我们定义一个迭代映射

虽然我们不知道解是什么，但我们可以进行猜测

第 0 次猜测：
第 1 次修正：把代入方程右边：
第 2 次修正：
第 n+1 次修正：

我们得到了一列函数序列

接下来欲证明：当时，这个序列会收敛到一个函数，且是方程的解

设局部定义域为以为中心的矩形区域 , 在内，设向量场有界()且满足Lipschitz条件,令

定义差距为：

时，

$条件$

由递推关系，任意时，

又因为上，所以：

把解写成级数形式：

阶乘的增长速度远快于分子的指数增长，此级数是绝对收敛

因此，函数序列一致收敛到一个极限函数

我们因此证明了解的存在性

唯一性证明

假设有两个不同的解和都满足方程定义距离

取范数并利用 Lipschitz 条件：即：

由于，且根据 Grönwall 不等式：

即

全局(时间上)存在性与唯一性定理

局部定理只保证短期内有解。为了保证在整个时间区间内解都存在且唯一，需要更强的条件——Carathéodory 定理来约束

局部利普希茨条件：存在一个在上可积的函数，使得对所有， 线性增长条件: 存在一个在上可积的函数，使得对所有

唯一性蕴含解的不相交性

考虑常微分方程在时间区间上的两个解和如果它们的初始值不同，即那么这些解在区间上不会相交，亦即： $对所有成立$

证明

假设存在某个时刻，使得设为两个解首次相遇的时刻：

由于，且存在，可知必然大于
由于和连续，在时刻它们精确相遇：

现在，我们在时刻定义一个新的初值问题：

根据唯一性定理，由于和在具有相同的状态（），它们必须在之后的区间上完全重合，类似地，将唯一性原理向后应用于之前的区间，也可以证明和在该区间上也必须重合

因此，对所有成立

与初始假设 矛盾

常微分方程的解析解法

线性标量常微分方程

：是一个标量状态函数
：是一个仅依赖于时间的连续系数函数

变量分离求解析解

当时，其导数也为0，解为恒零

当时，

对等式两边进行积分：

其中：

将左侧和右侧联立起来：

因为指数函数的结果总是正数，且在 ODE 理论中，由于非相交性，如果，则将保持正；如果，则将保持负，所以：

即：

系统状态演化到是通过乘以一个指数因子实现的，该因子被称为指数积分因子：

线形常微分方程

定义与标量情形完全一致的指数积分因子断言解为验证：

且在时显然 ,由常微分方程解的唯一性，这就是全解

半线性常微分方程

这类方程将状态变量的变化率分解为两部分：

：系统的状态向量
是一个仅依赖于时间的连续标量函数
：是一个依赖于状态和时间的向量场()

首先,整理方程：

引入逆积分因子：

方程两边同乘逆积分因子：

对左侧进行变换：

因此，原方程简化为：

对时间从积分到：

左侧的积分等于：

其中,则左侧等于：

代回原式：

等式两边同乘以积分因子

指数积分因子的性质：

最终得到解的积分形式：

$线性部分非线性部分$

常微分方程的数值解法

微分形式： 积分形式 由于积分的非线性，通常难以获得闭式解，所以采用数值方法进行计算，将时间离散化，通过迭代近似连续轨迹

基本定义

离散化 ：将时间域划分为等离散时间点 步长 ()：相邻时间点之间的时间间隔近似：每一步的解都是对真实解的数值估计

欧拉法

全局误差：

局部误差：

赫恩法（改进欧拉法）

预测校正

全局误差：局部误差：

龙格-库塔法

全局误差：局部误差：

皮卡迭代法

理论上用于证明解的存在性与唯一性的不动点构造，但是在实际数值计算中，收敛速度较慢，且每次迭代都需要计算耗时的积分，计算开销大

常微分方程的反演

正向求解：从到，时间递增 反向求解：从向步进，时间递减

通过时间重参数化即可将 ODE 转换为反向形式：，ODE 的时间反演是直接的，这保证了和之间的双射映射，但在随机微分方程中，这种直接反演则是不可能的