3. 如果,是高斯分布，那么正比于高斯分布

情形1:不同变量与 (独立联合分布)

设

定义：

这个 就是块对角矩阵（block diagonal matrix），因为 和 独立，协方差的交叉项为 0

直接相乘：

注意常数项：

其中 表示块对角矩阵，行列式等于子块行列式的乘积

把两部分二次型加起来：

正好等于：

因为块对角矩阵的逆仍然是块对角形式：

于是：

这正好就是：

也就是说，独立的两个高斯的乘积，等于它们拼成的联合高斯分布

情形2：同一变量 上两份高斯相乘

若

则

其中

首先，关注指数项：

令

则有

代回去得到

与无关的常数

因此

常数

即

新的常数

从而证明了“成比例于高斯”

4. 边缘封闭性：如果是高斯分布，那么也是高斯分布

设联合高斯向量

则边缘分布

使用特征函数进行证明

联合高斯向量 的特征函数为

令,则：

边缘 的特征函数就是把 代入联合特征函数：

这正是均值 、协方差 的高斯分布的特征函数，特征函数唯一确定分布，故

证明：边缘 的特征函数就是把 代入联合特征函数

设随机向量 的联合分布为 ，它的 联合特征函数 定义为：

边缘分布 是通过对 积分得到的：

随机变量 的特征函数为：

代入边缘分布 的定义：

交换积分顺序：

注意这里没有 相关的指数项——可以看作 里 ：

这正是联合特征函数 在 时的取值：

5. 条件封闭性：如果是高斯分布, 那么也是高斯分布

结论：

设联合高斯

并假设 可逆（正定）。记联合协方差的逆为

由Schur补可得

联合密度为

把 视为常量(条件分布的定义)，仅把指数中的与 有关项取出来：

与无关

对 完成平方：

常数

因此

这说明 是一个均值为 ，精度为 的高斯。把(★)代入得