PDF与特征函数
PDF与特征函数
特征函数和概率密度函数是描述随机变量概率分布的两种重要数学工具，它们之间存在着一种深刻而优美的傅里叶变换对（Fourier Transform Pair）关系
简单来说，PDF 描述的是随机变量在实数域上的行为，而特征函数描述的是随机变量在频域上的行为，它是PDF 的傅里叶变换
对于一个连续型随机变量
特征函数
因为它们是傅里叶变换对，所以我们可以通过傅里叶逆变换，从特征函数反过来得到
PDF：
为什么说这是一种强大的关系？
- 唯一性：这种傅里叶变换对的关系保证了一一对应,这是我们能够利用特征函数来证明分布性质的根本原因
- 数学运算的简便性：某些在实数域内非常复杂的运算，在频域会变得异常简单
- 独立随机变量的和：如果
和 是独立的，那么它们的和 的特征函数是它们各自特征函数的乘积： ，而在 PDF 域，这需要进行复杂的卷积运算： 。 - 线性变换：高斯分布的线性变换在特征函数域只需要简单的代数运算，而在 PDF 域则需要复杂的积分和雅可比行列式
- 独立随机变量的和：如果
时域与频域运算对应关系表
设函数
| 实域运算（对 |
频域运算（对 |
|---|---|
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